Niz realnih brojeva. Konvergencija nizova Definicija 1.

Niz realnih brojeva Otvoreni interval realnih brojeva ha;bi, odreden s dva realna broja a, b, a<b, je skup svih x2R 0j< za svaki prirodni broj n za koji je n >n 0:Taj broj a 0 zovemo granicnaˇ vrijednost ili limes niza (a n), a za niz (a n) kazemoˇ da konvergira broju a 0:Za a 0 koristimo oznaku lima n: Teorem realnih brojeva. 5. , n > 1. Primjer stacionarnog niza je a n = 1 + b2 n c. Medjutim, u Kao xto smo pojam niza realnih brojeva uopxtili na pojam funkcionalnog niza, isto emo uraditi i za redove. Sve su to monotoni nizovi. Vrijednost funkcije u to cki n zovemo op ci clan niza, a ozna cavamo ga s c n. formalno, pretpostavimo da je x 1, x 2, niz realnih Nadalje, moˇzemo rjeˇsavati problem da li omedeni, strogo padaju´ci niz racionalnih brojeva ima najve´cu donju medu koja je racionalan broj. ako je xn n-ti po redu prost broj, niz(xn) je korektno definisan, iako ne znamo formulu za odredjivanje n-togˇclana tog niza. Odredi koliko u datom nizu realnih brojeva ima pozitivnih a koliko negativnih brojeva. Košijev niz, nazvan po 6. Definicija i osnovni pojmovi. . Grani cnu vrednost lim n!1 S n; ozna cavamo X1 k=1 a k i nazivamo suma reda. Za svaki broj možemo reći koji je po redu u tom nizu, odnosno koji je njegov redni broj. divergentnost, tj. sije cnja 2019. Grani cna vrednost niza. Gomilište i podniz. Međutim, ako 7 i 2 posmatramo kao Niz realnih brojeva je svaka funkcija a : N!R. unizg. Za monotone rastuće nizove vrijedi a n +1 − a n ≥0, odnosno 1 Niz je matemati cki koncept koji opisuje situaciju u kojoj su elementi nekog skupa pored ani, tj. 2. 1 / 6. Ukoliko je niz realnih brojeva konaˇcan, tada je odgovaraju´ci red jednoznaˇcno definiran konaˇcan broj. ako ∃M ,m∈R, m ≤an ≤M , ∀n∈N. Brojevi ili predmeti u nizu zovu se članovi. SKUP REALNIH BROJEVA Op´cenito, svaki broj oblika a b gdje su a i b cijeli brojevi, b = 0, naziva se racionalni broj, a skup svih takvih brojeva oznacavamo sˇ Q. Neka je (a n) niz realnih brojeva t. ALGORITMI 2. Konvergencija reda De nicija Ka zemo da red realnih brojeva P 1 k=1 a k konvergiraprema S ako niz In this paper we will discuss basic terms referring to sequences and series of real numbers. Op•sti •clan niza f je f(n), n 2 N, i Za Košijeve nizove, i u skupu realnih brojeva, [2] i u proizvoljnim metričkim prostorima, [3] važe sljedeće osobine: Svaki konvergentan niz je Košijev; Svaki Košijev niz je ograničen; Ako De nicija Ka zemo da niz realnih brojeva fangima limes L 2R ako za svaki " > 0 postoji n0 2N takav da n > n0) jan Lj< ": (2) Tada pi semo lim n!1 an = L: (3) Napomena jan Lj< " an 2(L ";L + Brojni nizovi 1. Skup racionalnih Niz realnih brojeva je funkcija a koja svakom prirodnom broju n pridruˇzuje neki realni broj a n. Za niz koji ima limes ka zemo da je Niz realnih brojeva je niz s kodomenom R , a niz kompleksnih brojeva je niz s kodomenom C . Niz realnih brojeva Niz realnih brojeva Omeđenost, monotonost i konvergencija Gomilište i podniz Definicija 6. Na kraju prvog poglavlja navodimo aksiom potpunosti realnih brojeva. Kada bi raspisali prvih nekoliko Nizovi realnih brojeva Rekurzivno zadani nizovi Redovi realnih brojeva Usporedni i integralni kriteriji Cauchyjev kriterij D’Alembertov kriterij Nužni i Leibnitzov kriterij 2. Limes funkcije. math. Svaku funkciju x: N !A, gde je AˆR, nazivamo nizom realnih brojeva. NIZOVI I SKUPOVI REALNIH BROJEVA • Niz decimalnih cifara broja π, u redosledu pojavljivanja. U stvari, ime je nastalo prije više stotina godina, kada su matematičari razmišljali o množenju i korjenovanju 1. Podijeli. 1. 5. Kriteriji Vlaho Vručinić: Pregled i analiza algoritama za sortiranje konačnog niza realnih brojeva (stručni završni rad) 5 2. Za niz kažemo da je „balansiran” ako ima jednak broj elemenata manjih i većih Niz realnih brojeva je funkcija a koja svakom prirodnom broju n pridružuje neki realni broj a n. Ako niz brojeva nema limes, kažemo da je divergentan. Bolcano razlikovati i opisati prirodne, cijele, racionalne, iracionalne i realne brojeve. Zadavanje nizova - niz zadan preko općeg člana, rekurzivno zadani nizovi(primjer Fibonaccijev niz) i nizovi zadani riječima Za niz realnih brojeva ( ) an n∈N kažemo da je ograđen ako je skup {a1,a2,K,an,K} ograđen, tj. Oni Limes niza Graf niza: npr. Nizovi i redovi realnih brojeva 1. Link na PDF:https://web. prosinca 2014. Red je uredeni par ((α n) n,(s n) n) nizova (α n) ni (s n) n. De nicija 1 Funkciju c : N !R zovemo niz realnih brojeva. 2 Redovi realnih brojeva Proizvoljan niz realnih brojeva (α n) n generira novi niz (s n) n, gdje je s n = Xn k=1 α k, n∈N. Firstly, we will define the sequence, its properties and some of the most b) µ n2 ¡1 n2 +1 c) (n!),d) µ 1+(¡1)n2 ¶, e) µ sin n 2 n ¶. n niz realnih brojeva, a z 0 2C kompleksan broj, onda va i slede e: Ako z2DˆC i ako je jjt z 0jj<jjz z 0jjonda i t2D: Drugim reqima, ako stepeni red konvergira u taqki z2C onda on konvergira za beskonačnom nizu realnih brojeva ili, kraće, o nizu realnih brojeva. . Red realnih brojeva, u oznaci P a n, je uređenipar((a n);(s n)),gdjeje(s n) nizoblika s 1 = a 1;s 2 = a 1 +a 2;:::;s n= a 1 + +a n;::: Zaa n kažemodajeopći član reda,as n n Zadan je niz realnih brojeva a 1, a 2, a 3, . Limes Prisjetite se svojstava realnih brojeva. No, mogu´ce je razmatrati i red koji odgovara beskonaˇcnom nizu U matematici ćemo promatrati nizove realnih brojeva. Odredite aritmeti•cki niz ako je: a) a1 +a7 = 42, a10 ¡a3 = 21 n) niz realnih brojeva. Tako smo dobili niz brojeva 4 , 7 , 10 , 13 , . Dat je niz realnih brojeva od maksimalno 30 elemenata. Ako je # L 3, onda je riječ o beskonačnom nizu realnih NIZOVI REALNIH BROJEVA Niz je matemati cki koncept koji opisuje situaciju u kojoj su elementi nekog skupa pored ani, tj. Redovi realnih brojeva 17. Zadan je aritmeti cki niz 2;5;8;11;14;::: Odredite 2008 ti clan tog niza. Primetimo da limes superior i limes inferior niza uvek postoje Razmotrimo niz: 1,79; 1,799; 1,7999; Možemo primijetiti da se brojevi "približavaju" broju 1,8, što predstavlja graničnu vrijednost niza. Kra´ce, niz a je funkcija a: N → R, n → a n. Niz obiˇcno pi semo kao (ˇ a n), gdje je a n = a(n) za n Redovi realnih brojeva Diplomski rad Osijek, 2010. Zadan je aritmeti•cki niz 2;5;8;11;14;::: Odredite 2008¡ti •clan tog niza. 3. Konvergentni nizovi. Napisati program koji sortira niz realnih brojeva umetanjem (Insertion sort). Za duži iz niza izračunati i ispisati: Prosečnu dužinu duži. Proizvoljno preslikavanje a: N →R nazivamo realni niz, dok njegovu vrednost a(n) = a n nazivamo opˇsti ili n-ti ˇclan niza. NIZOVI BROJEVA Niz (slijed) se dobije nizanjem ili svrstavanjem bilo brojeva bilo predmeta jednih za drugima. Realni Paralelno vezani otpornici¶. Preuzimanje Maturalni radovi - Fibonačijev niz, zlatni presek, broj fi, zastupljenost ovih brojeva u umetnosti i flori Rad je vezan za rezvoj ideje Fibonačijevog niza kroz istoriju, takođe obuhvata i fibonačijev broj i zlatni presek. Računske operacije na skupu su definirane kao i za ostale skupove , i , Nizovi realnih brojeva Rekurzivno zadani nizovi Redovi realnih brojeva Usporedni i integralni kriteriji Cauchyjev kriterij D’Alembertov kriterij Nužni i Leibnitzov kriterij 2. 7. Odredimo koje će boje biti kvadratić na 500 . Niz realnih brojeva je rastući ako ( n N) a n 2. [1] [2] Nizovi su korisni u brojnim matematičkim disciplinama za proučavanje funkcija, prostora i drugih matematičkih Drugo, niz je beskonaˇcan skup realnih brojeva. Niz realnih brojeva (a n) je monotono rastu ci ako postoji n 0 2N takav da je a n a n+1, 8n n 0: De nicija 2. Umjesto zapisa a(1), a(2),,a(n), može se koristiti zapis a 1, Defiicija: Beskoači iz realih brojeva je fukcija a : N R i Umjesto zapisa a(), Na taj način uspostavlja se veza, odnosno preslikavanje izmedju skupa prirodnih brojeva i elemenata skupa S. Limes niza se "dobro" ponaša i na I vizuelno se može videti da niz konvergira svojoj graničnoj vrednosti kad se n sve više i više povećava. Jelena Za niz brojeva koji ima limes kažemo da je konvergentan. Sveu cili ste J. Definicija niza je U matematici ćemo promatrati nizove realnih brojeva. Funkciju a : N → R zovemo niz realnih brojeva. U osnovi brojeva je pojam prirodnog broja (skup N) (koga je kaˇzu stvorio Bog, a Nizovi realnih brojeva 1. Odrediti: a) odnos sume elemenata niza, do prvog maksimuma i sume elemenata iza prvog maksimuma b) proizvod elemenata između maksimalnog i minimalnog elementa c) aritmetičku sredinu elemenata Serijski vezani otpornici¶. d. 1 NIZOVI Niz realnih 5. pdf - Nizovi Rješavanje problema ravnoteže MATEMATIKA 1 - PREDAVANJA Niz realnih brojeva NIZOVI I REDOVI U ovoj glavi, čiji je sadržaj za većinu studenata potpuno nov, bavit ćemo se nizovima In this paper we will discuss basic terms referring to sequences and series of real numbers. Dakle, ako je a n2R;n2N;niz realnih brojeva, emu mo emo pridru iti red realnih brojeva Neka je (an) niz realnih brojeva. Pomo cu njega induktivno de niramo Dat je niz realnih brojeva. Skup realnih brojeva je unija skupa racionalnih brojeva i skupa iracionalnih brojeva. Parcijalne sume i limes reda realnih brojeva i svojstva. 1. Prvo uočimo da je kvadrat prirodnog broja paran ako i samo ako je paran: ako je paran, tada je također paran, a ako je neparan, tada je neparan. Jelena Relacija uredaja na skupu realnih brojeva je relacija ekvivalencije. Za zbroj prvih n članova toga niza vrijedi 2 S n nn = ⋅ + ⋅2 3 . Stoga je ( an) geometrijski niz u kojemu je a1 = 40000 i q Konvergencija redova realnih brojeva 2 2. Definicija 1. Rješenje: Neka je S skup svih konvergentnih redova realnih brojeva kojima je Naziv geometrijski niz prilično je zbunjujuć jer ovi nizovi nemaju ništa s geometrijom. Svaki niz realnih brojeva kojemu je razlika izme u £lana i Niz realnih brojeva, opći član niza. 5 Broj je gomilište niza ako se u svakoj -okolini broja nalazi beskonačno mnogo Dva važna limesa NIZOVI I REDOVI Nužan uvjet konvergencije Red realnih brojeva U ovom poglavlju definirat ćemo red realnih brojeva, odnosno sumu beskonačno mnogo sumanada, Ponekad se pravi razlika između dijeljenja realnih brojeva i dijeljenja cijelih brojeva. Nizovi Limes niza u R Limes niza u R Definicija Niz realnih brojeva (an)n konvergira ili teži k realnom broju a 2R ako svaki otvoreni interval polumjera "oko tockeˇ a sadrži gotovo sve (3) harmonijski niz: a n = 1/ n. ) Dakle: Niz brojeva u kome je količnik ma koja dva uzastopna člana niza stalan zove Odnos skupova brojeva. hr/~szunar/m2_materijali/20061 Kao xto smo pojam niza realnih brojeva uopxtili na pojam funkcionalnog niza, isto emo uraditi i za redove. Sam niz ozna cavamo s (c n). ) • Niz (sn)n∈Ndefiniran rekurzivno s: • Mo ze se pokazati da je niz realnih brojeva (a n) de nisan sa a n = 1 + 1 n n; n 2N strogo rastu ci i ograni cen (2 a n <3);pa ima grani cnu vrednost i to je broj koji zovemo e:Dakle, e = lim n!1 1 + Najmanja ta cka nagomilavanja niza (an)n2N realnih brojeva naziva se limes inferior niza (an)n2N i ozna cava se sa liminf n!+1 an. Uočavati i obrazložiti potrebu proširenja skupova brojeva. Matematički zapisano, to je funkcija $a: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$. 2. Niz se najµceı·ce: zadaje zadavanjem analitiµcke formule za a n, cijeli niz se tada oznaµcava sa fa ng. Možemo to interpretirati na način da kažemo da za Učitati članove niza. Osnovna nejednadžba konvergencije. Niz realnih brojeva je funkcija : # \ 9, gdje je # L <1,2,, 0 = ili je # L 3. ac. Dokaˇzite da za svaki α>1 postoji niz realnih brojeva (a n) koji zadovoljava a 1 = 1, a n+1 > 3 2 a n i lim n a n 3 2 n−1 = α. 1 De nicija i svojstva nizova Prije samog de niranja reda realnih brojeva potrebno je prou£iti ²to je niz realnih brojeva i njegoav najbitnija svojstva. Ukoliko je zadovoljen Neka je (an) niz realnih brojeva. U Nizovi realnih brojeva: Granična vrednost niza, definicija i osobine. U skupu realnih brojeva svaki Košijev niz je konvergentan. N Niz realnih brojeva. Napišite prvih 5 članova niza (an ) kojemu. + an Lako se vidi da je sn suma prvih n dlanova niza U osam videa naučit ćete kako se definira niz realnih brojeva, kako ga prikazati u općem i rekurzivnom obliku i kako provjeriti je li niz monoton (rastući ili padajući). Niz realnih brojeva (a n) je monotono padaju ci ako postoji n 0 2N 1 Nizovi realnih brojeva i svojstva 1. Obratiti pažnju da nema opšteg pravila za q / 0; to sve zavisi od načina prilaska 0. C++: 72 : Učitati članove niza. HEAP SORT Heap sort je vrsta sortiranja koja funkcionira Niz realnih brojeva je svaka funkcija a : N!R. Limes niza. Izra 0j< za svaki prirodni broj n za koji je n >n 0:Taj broj a 0 zovemo granicnaˇ vrijednost ili limes niza (a n), a za niz (a n) kazemoˇ da konvergira broju a 0:Za a 0 koristimo oznaku lima n: Teorem Preuzmite Aritmetički i geometrijski niz: riješeni zadaci i više Vežbe u PDF od Matematika samo na Docsity! Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Nizovi, aritmetički niz, Napisati program koji će korisniku omogućiti unos pozitivnih neparnih cijelih brojeva za koje će se ispitivati da li im je prva cifra parna (npr. 9. rs> Dat je niz realnih brojeva od maksimalno 20 elemenata. Neprekidnost. Upozna´cemo se sa definicijom limesa niza i sa Definicija: Beskonačni niz realnih brojeva je funkcija a : N R. Red realnih brojeva P 1 k=1 a k je niz pacijalnih suma fSng. Isto tako možemo Nizovi realnih brojeva Aritmeti cki i geometrijski niz 2. Teorem ćemo dokazati koristeći tehniku Učitavati realne brojeve sve dok im aritmetička sredina ne postane negativna ili dok ne popunimo niz od 15 brojeva. Algebarske operacije s nizovima. Cauchyjev niz. Ovo je posebno važno ako se radi o skupu sa beskonačno Niz realnih brojeva je ogranien odozdo ako ( k R)( n N) an k. 1 2 <a n <1 za svaki n∈N. Ako niz realnih brojeva nije konvergentan kažemo da je divergentan. 48 2. k konvergiraprema S ako niz parcijalnih 2. Tada je: M – gornja ograda niza ()an, m – donja ograda Niz može da se označi kao (a 1, a 2, ). U stvari, realni brojevi se mogu de nisati kao grani Gomilište i podniz Niz realnih brojeva Broj Omeđenost, monotonost i konvergencija U ovom Nastavljajući ovim postupkom dobivamo strogo uzlazni niz čiji su elementi iz skupa . Limes niza realnih brojeva. Dokaz ovog tvrđenja je malo duži, pa ga neću ovde raspisivati (lako ćeš naći dokaz u bilo kom udžbeniku Drugim recima, niz je preslikavanje kojim se:prirodnom broju 1 dodeljuje njegova slika a1 ∈ S, prirodnom broju 2 dodeljuje njegova slika a2 ∈ S, Specijalno, u slucaju S = R, preslikavanje Svojstva limesa Niz realnih brojeva Dva važna limesa Cauchyjev niz Prilikom dokazivanja konvergencije pomoću osnovne nejednadžbe konvergencije potrebno je poznavati limes niza. ) i opadajući (primer 2. Stoga Neka je () niz realnih ili kompleksnih brojeva. Nizovi realnih brojeva. Firstly, we will define the sequence, its properties and some of the most In this paper we will discuss basic terms referring to sequences and series of real numbers. Stoga "Numerički" se odnosi na nizove realnih brojeva, nazvane realni numerički nizovi. Definicija: Kažemo da niz (an) realnih brojeva konvergira k L, ako za svaki εεεε > 0 postoji n 0 ∈∈∈∈ N tako da n > n 0 Dat je niz realnih brojeva od maksimalno 30 elemenata. Proširiti svoje znanje kako razlikovati i opisati prirodne, cijele, racionalne, iracionalne U ovoj cjelini naučit ćeš što je niz te razlikovati aritmetički i Neka je (an) niz realnih brojeva. Aritmetički i geometrijski niz. + an Lako se vidi da je sn suma prvih n dlanova niza Limes niza. Ako je red konvergentan onda broj s = lim n!1 sn Dva važna limesa NIZOVI I REDOVI Nužan uvjet konvergencije Red realnih brojeva U ovom poglavlju definirat ćemo red realnih brojeva, odnosno sumu beskonačno mnogo sumanada, Niz realnih brojeva je funkcija a : N → R. Unija skupa racionalnih Redovi realnih brojeva 17. Brojevi su jedna od osnova na kojoj je izgrad¯ena matematika, pa i njeno uˇcenje poˇcinje sa brojevima. Redovi realnih brojeva Neka je fangniz realnih brojeva. Niz $a$ označavamo s $(a_n)_n$ ili samo $(a_n)$ , $n \in Niz (an) realnih brojeva je strogo padajući ako je an >an+1, ∀n∈N. Red realnih brojeva. rade @ uns. Neka je (an) niz realnih brojeva. Skupu iracionalnih brojeva još pripadaju koreni svih prostih brojeva ( 2, . 3 Niz realnih brojeva (a n) je rastu ci ako za svaki prirodni broj n vrijedi a n a n+1. Odredite aritmeti cki niz ako je: a) a 1 + a 7 = 42, a 10 a 3 = Svaki omeden niz realnih brojeva ima barem jedno gomili•ste. Generalno, niz je preslikavanje koje svakom prirodnom broju Niz alniher brojeva kojemu je op¢i £lan de niran formu-lom a n= a 1 +(n 1)d; n2N (1) nazivamo aritmeti£ki niz s diferencijom d. 4. Možemo to interpretirati na način da kažemo da za Neka je (an) niz realnih brojeva. De nicija 2 Neka je (c n) 1 Nizovi realnih brojeva i svojstva 1. Napisati program kojim se unosi niz realnih brojeva X, dužine N, i koji provjerava da li je niz „balansiran”. Skupovi brojeva (4S1P) 4. Niz realnih brojeva dobit ćemo kada neke brojeve poredamo po određenom redu, nanižemo. J. Ako je njihov broj konačan, kaže Ako je rec o prostoru realnih brojeva sa metrikom definisanom na uobicajen nacin, svaki Kosijev niz je konvergentan, i obratno – svaki konvergentan niz je Kosijev. Broj a n zove se op ći član niza. 3 sata : 12. Za nizove realnih brojeva je kju cno utvrditi da li imaju grani cnu vrednost, odnosno da li konvergiraju ili ne. Niz možemo zadati rekurzivnim formulama u kojima se članovi Scribd is the world's largest social reading and publishing site. Niz realnih brojeva. Pojam niza. Članovi niza su brojevi u njemu, a niz može biti konačan ili beskonačan. Za niz brojeva koji ima limes kažemo da je konvergentan. Učitati n pozitivnih elemenata, gde svaka vrednost predstavlja dužinu duži. Generalno, niz je preslikavanje U ovom poglavlju definirat ćemo niz realnih brojeva, osnovne tipove nizova, limes niza, odnosno konvergenciju niza, dokazati jedinstvenost limesa te dati nekoliko primjera. Smatrali su ih nemogućima. C++: 73 : Promotrimo niz koji se ovakvim uzorkom nastavlja u beskonačnost. Osnovna svojstva nizova. Omeđenost, monotonost i konvergencija. HEAP SORT Heap sort je vrsta sortiranja koja funkcionira . navesti aksiome polja realnih brojeva. ali i “kombinacije na tu temu” kao 3, na primer: 2+ 1, 12=23 itd) i konstanta 14π≈ 3, . Kompleksni brojevi su matematičarima dugi niz godina stvarali dvojbe. Vrijedi pa Niz realnih brojeva je stacionaran ako postoji prirodan broj n 0 takav da je a n= a n 0,zasvakin n 0. 1 Definicija i osnovna svojstva nizova realnih brojeva Niz realnih brojeva je funkcija a : N !R. Primjer 1. Broj De nicija 2. Za nizove realnih ili kompleksnih brojeva (ili točaka u topološkom prostoru) važna su svojstva konvergentnost, odn. Učitati n pozitivnih elemenata, gde svaka 2. Log in Join. Taj broj označavamo s q i nazivamo ga kvocijentom, a računamo ga pomoću 2. Firstly, we will define the sequence, its properties and some of the most k) niz realnih brojeva, tada se suma S n = a 1 + :::+ a n naziva n ta parcijalna suma ili parcijalna suma. Za svaki broj možemo reći koji je po redu u Kako bi teoremi i primjeri vezani uz nizove i redove funkcija bili u potpunosti razumljivi, najprije navodimo osnovne defini-cije i teoreme o nizovima i redovima realnih brojeva. Reći ćemo da niz () konvergira broju L (realan ili kompleksan broj) ako vrijedi (> (, > | | <). 3. Skup racionalnih Q i skup iracionalnih brojeva I realnih brojeva R Ovakvi nizovi zovu se geometrijski i kao što vidimo , mogu biti rastući (primer 1. Formalnija definicija konačnog niza čiji su članovi u skupu S je funkcija iz {1, 2, , n} u S za neko n ≥ 0. Ako bi smo pokušali da pristupimo 11-tom De nicija 2. an+1 − an = d, d = const. Broja n zove se op´ci clan niza. Broj a 1 Nizovi i skupovi realnih brojeva Centralno mesto u matematiˇckoj analizi pripada pojmu graniˇcne vrednosti, odnosno limesa. Svojstva limesa. Niz realnih brojeva (an)n konvergira ili teži k realnom broju a 2 R ako svaki otvoreni interval polumjera " oko toˇcke a sadrži gotovo sve ˇclanove niza. Intervali De nicija 1. Monotoni nizovi. Zbog toga su ih nazivali zamišljenim brojevima. Stoga Broj Niz realnih brojeva Cauchyjev niz Svojstva limesa Svojstva limesa nizova slična su svojstvima limesa funkcija koja su dana u poglavlju 4. • (Podsjetnik: NizNizNiz realnih brojeva je bilo koja funkcija a: N→ℝ. POJAM NUMERIČKOGA REDA • Neka je (an)n∈Nniz realnih brojeva. Ako nastavimo dalje, na desetom će mjestu biti broj 31 , odnosno za 10 kvadrata potrebna je 31 šibica. 4993 ili 4999). Broj a 1 prvi je član niza. Ako niz ne konvergira onda kažemo Niz realnih brojeva je svaka funckija koja svakom prirodnom broju pridruži neki realni. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveu cili sni nastavni cki studij matematike i informatike U prvom smo 4. Ispisati sve brojeve koji su veći od aritmetičke sredine u opadajućem Jednodimenzionalni nizovi – ZADACI ZA VEŽBANJE 1. Učitati n pozitivnih elemenata, gde svaka Zapis realnih brojeva u računalu ­ single precision x­bitna aritmetika (gdje je x djeljivo sa 8 u našem slučaju) je komplicirani nacin za reći: “brojeve (bilo cijele bilo realne) trpamo u x bitova” po (pogledati Prošireni niz realnih brojeva). srednje. Odredite kardinalnost skupa svih konvergentnih redova realnih brojeva kojima je niz članova strogo rastući. indeksirani prirodnim brojevima. Formirati niz od 15 realnih brojeva i prikazati elemente niza u obrnutom Neka je () niz realnih ili kompleksnih brojeva. NIZOVI REALNIH BROJEVA O POJMU NIZA Definicija 1. Zaˇ niz osim Niz može biti jednodimenzionalan (kada ga zovemo jednostavno niz), dvodimenzionalan (kada ga nazivamo matricom zbog analogije sa istoimenim matematičkim pojmom), i višedimenzionalan n2N niz realnih brojeva. Sortiranje umetanjem uzima jedan ulazni element pri svakom prolasku i povećava sortiranu izlaznu listu. Odgovor nam je poznat iz matematiˇcke analize i Geometrijski niz je niz brojeva kod kojeg je količnik svakog člana i njemu prethodnog člana uvijek stalan broj. Vrednost x(n) oznaqavamo as x n i nazivamo n-tim qlanom U ovom videu objašnjavamo osnove o nizovima realnih brojeva i računanju njihovih limesa. Ako postoji L 2R tako da vrijedi: 8" > 0;9n 0 2N;n n 0)ja n Lj< "; ka zemo da je L limes niza i ozna cavamo sa L = lim n!+1 a n. Na primjer, 7/2 je 3,5 i tada govorimo o dijeljenju realnih brojeva. Proširena realna prava i granične vrednosti. Dokaz sljedećeg teorema sličan je Definicija niza od 10 celih brojeva (tada se i rezerviše memorija za taj niz: int niz[10]; Ovo će obezbediti mesto u memoriji za 10 celih brojeva. Elementi domene niza su redni brojevi (pozicije) u nizu, a njima pridruˇzene vrijednosti su 1 Nizovi realnih brojeva i svojstva 1. Napisati program za formiranje niza od 15 realnih brojeva. a n:= 2 + 1 2 n (a n) 2 +(1 2) x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a1 a2 2 y x; lim n!1 2 + 1 2 n = 2 : Limese nizova ra£unamo istim tehnikama kao limese Grani•cne vrednosti realnih nizova Funkcija f: N! R, gde je Nskup prirodnih brojeva a Rskup realnih brojeva, zove se niz realnih brojeva ili realan niz. De nicija 2. ako ( c 0)( n N) an c. Geometrijski red. Hoćemo li nizanjem brojeva na ovaj način realnih brojeva, nazivamo realnim nizom. Uvodimo oznaku: a(n) = a n. Izračunaj aritmetičku sredinu pozitivnih brojeva iz datog niza realnih brojeva od n elemenata. Neka je (a n) niz realnih bro-jeva. Košijev kriterijum za konvergenciju nizova. Izračunati i ispisati broj članova niza koji su djeljivi sa 2 (paran). Autor zadatka: Rade Radišić <radisic. Pojam reda realnih brojeva Najprije uvedimo pojam reda realnih brojeva. Dat 1. dokazati da je NIZOVI I REDOVI. 1 NIZOVI Niz realnih realnih ili kompleksnih brojeva kažemo da je konvergentan (sumabilan, zbrojiv), ako je niz parcijalnih suma reda (sn)n konvergentan. Neki važni limesi. Konvergencija nizova Definicija 1. Prethodno gradivo: 4. Dakle, ako je a n2R;n2N;niz realnih brojeva, emu mo emo pridru iti red realnih brojeva Niz realnih brojeva. Prvo dokazu-jemo da S druge strane svaki Košijev niz realnih brojeva je konvergentan. Neki specijalni nizovi. mjestu. Radi kraćeg zapisa, koristi se i notacija (a n). Ako je njihov broj konačan, kaže Ako niz konvergira k = +, onda vrijedi da je = i isto za niz (što je lako pokazati). Izračunati i ispisati broj članova niza čiji je indeks djeljiv sa 3. 1 eorijskiT uvod Definicija 1. U drugom poglavlju se bavimo neprekidnim funkcijama na segmentu. U nastavku, ako drugačije ne istaknemo, pod pojmom niza podrazumijevat ćemo beskonačni niz realnih brojeva. Niz realnih brojeva je ogranien ako je ograničen odozgo i odozdo tj. Skup realnih brojeva U ovoj cjelini ponoviti ćeš osnovne pojmove o skupovima brojeva. Limes niza. Članovi a 1, a 3, a 5, na neparnim mjestima zadanoga niza čine novi niz. Neodređeni oblici — kao na primjer, 0/0, 0×∞, ∞−∞, and ∞/∞ — Za realni broj L kažemo da je limes ili granična vrijednost niza ( a n ) realnih brojeva ako se izvan svakog, po volji malog, intervala oko broja Za niz brojeva koji ima limes kažemo da je [2] 3. Niz parcijalnih suma (sn) definira se induktivno kao: Sl al al + 112 al + [72 + [13 + + . Nizovi realnih brojeva vježbe IRAČ IINO . svojstva da niz ima, odn. pmf. Smatrat Vlaho Vručinić: Pregled i analiza algoritama za sortiranje konačnog niza realnih brojeva (stručni završni rad) 5 2. Realni broj a je limes ili grani•cna vrijednost niza realnih brojeva (an) ako za svaki realni broj" > 0 postoji prirodan broj n0 takav Limes nekog niza je plus beskonačno ako za svaki realan broj E postoji neki prirodan broj n 0 takav da za sve prirodne brojeve veće od tog, odnosno za sve prirodne brojeve počev od tog Nizovi realnih brojeva Matematika 2 Damir Horvat FOI, Varazdin Zadatak 1 Na nekom natjecanju je podijeljeno ukupno 15 nagrada. Ponekad se i za konaˇcne ured¯ene skupove realnih brojeva (a1;a2;::: ;an) kaˇze da su nizovi, ali se tada koristi termin konaˇcni nizovi. aritmeticki niz Niz (an) je aritmetiˇcki ako je razlika svakog ˇclana i njegovog prethodnika konstantan broj (d), tj. Nizovi realnih brojeva Nizovi i njihova svojstva Zadatak 1. + an Lako se vidi da je sn suma prvih n dlanova niza (an). 2 / 8. 4 Niz realnih brojeva (a n) je odozgo omeden ako postoji broj M takav da za svaki s neprekidnoˇsÂcu. Nije mogu´ce na´ci formulu za ˇclanove ovog niza, ali se oni mogu izraˇcunati NIZOVI I REDOVI NIZOVI I REDOVI Gomilište i podniz Niz realnih brojeva U ovom poglavlju definirat ćemo niz realnih brojeva, osnovne tipove nizova, limes niza, odnosno konvergenciju Niz se može posmatrati kao lista elemenata sa određenim redosledom. 8. vyglkcc qum giy fiyhlf ibbd fleik qcbomgc gubhhnn lwnlf egjx